黄石效应：为什么幂律分布这么普遍？

作者：六禾致谦

题图：六禾致谦微信公众号

编者注

1987年10月19日星期一，美国道琼斯指数大幅下跌22.6%，纽约股指损失5000亿美元，其价值相当于美国全年国民生产总值的1/8。这次股市暴跌震惊了整个金融世界，并在全世界股票市场产生“多米诺骨牌”效应，伦敦、法兰克福、东京、悉尼、香港、新加坡等地股市均受到强烈冲击，股票跌幅多达10%以上。

股市暴跌狂潮在西方各国股民中引起巨大恐慌，许多百万富翁一夜之间沦为贫民，数以千计的人精神崩溃，跳楼自杀。这一天被金融界称为“黑色星期一”，《纽约时报》称其为“华尔街历史上最坏的日子”。

虽然黑色星期一之前的两周，股市波动已经开始加大，分歧明显，但谁也没有想到会产生如此迅猛的跌幅。事后，不少理论分析从各个维度来探讨这次股灾是如何产生的，但依然没有统一的定论。

今天介绍的这本书Ubiquity: Why Catastrophes Happen，则是从“自然规律”的角度来切入讨论这个问题——股市的暴跌也符合大自然灾难发生的普世性，没有例外。

这本书直译为《无所不在：为什么灾难会发生》，官方出版为《失效的科学：灾难是怎么发生的》。

作者马克•布查纳是美国弗吉尼亚大学理论物理学博士，研究领域为非线性力学和混沌理论，也是科学作家，曾为《自然》和《新科学家》杂志编辑。

他指出金融市场的起落、森林大火的蔓延、物种的灭绝、地震的分布、战争的爆发，这些事物看似毫无关联，却遵循着同一条简单法则——幂律分布。

为什么会产生幂律分布，作者就引出了一个前提——临界状态，当事物进入临界状态时，处于非常不平衡情形，哪怕一个个小小的推动事件，就会引发巨大灾难——第一次世界大战，黄石公园1988年的超级大火，都是在这种状态下发生的。

并且，大多数情况下，事物会具有“自组织临界性”，意味着系统会自然而然发展到临界状态，从而发生灾难，周而复始，比如股市周期性一定会有大跌，森林周期性会有火灾。

而如果人为干扰系统，抑制所谓的波动和小风险事件，反而会导致进入“超临界状态”，意味着发生更大规模和级别的灾难。

布查纳说道：“临界状态似乎存在于任何系统，无论它由什么构成，受什么物理规律支配。从这个角度来说，临界状态的组织方式甚至比物理规律更为基础，它位于物理规律的底层，是世界大部分组织方式的核心。”

这也是我们为什么推荐这本书的理由，整本书层层推进，非常精彩，我们节选了第七章《自组织临界性》中的部分内容，祝开卷有益！

1942年12月2日，下午早些时候，一队物理学家走下台阶，去往芝加哥大学橄榄球场的地下壁球场。这是一次具有历史意义的科学实验。在某个壁球场临时搭建的实验室里，这队人建起世界上首个核反应堆。

他们在大块的石墨上钻孔，又在孔中插入细长的富铀反应棒。早在6年前，项目领头人恩里科·费米就发现，铀原子核会在中子的撞击下发生裂变，释放出更多的中子。这些中子接着撞击其他铀原子核，理论上将进一步引发裂变，如同雪崩一般产生更多中子——这便是自持核反应。

至少理论上如此。理论同时表明，除非实验经过精心设计，否则反应堆会自发启动。

为了防止反应堆失控，费米在铀燃料棍间插入由镉制成的“控制棒”。控制棒是反应堆的制动器，它通过吸收中子，令其引发的链式反应迅速衰减。不过这一天，费米准备去掉制动器，看看会发生什么。

下午3点多，所有人都屏息凝视着费米。他用绳子拉动镉棒，将其缓缓拖出反应堆。物理学家尤金·维格纳拿着一瓶基安蒂酒站在旁边，紧张却满怀期待。随着镉棒被缓慢抽出，盖革计数器开始发出零星响动；镉棒继续被抽出，计数器像机枪般发出连续声响。

费米已经用计算尺算出在灾难性的连锁反应开始前，控制棒可以被拉出多远。而下午3点36分，随着费米接近这个位置，盖革计数器开始发疯似的“咔咔”作响。费米不再拉动镉棒，反应堆由此进入临界点，此时单一中子可能引发任意规模的中子雪崩。

这个故事传达出这样的信息：没什么系统能够自动到达临界点，调控至关重要。

想令核反应堆和磁铁达到临界状态，都要花一番功夫。到达临界点后，任何微不足道的事件都能引发巨大且持久的灾难。

将一块废磁铁扔进炉子，在升温过程中它会轻易越过临界状态。而若想将磁铁保持在770摄氏度，就需要调节作用：一旦错过一两度，铁内部的磁原子簇团便无法产生。

因此，当1987年，巴克、汤超和韦森菲尔德发现简单的沙堆模型可以自发演化为临界状态时，他们感到困惑、迷茫甚至震惊。计算机缓慢且随机地向平滑的桌面落下沙粒。沙堆增长且变得陡峭，接着便发生了雪崩。

最初，雪崩只涉及几颗沙粒。随沙堆变大，雪崩规模也逐渐增大。最终，沙堆进入临界状态，可能发生任何规模的雪崩，正如精确调节下的费米核反应堆。但是，巴克、汤超和韦森菲尔德并未通过旋钮调控模型，临界状态便自动产生了。

这仿佛是个奇迹，他们立即以“自组织临界性”为其命名。这是历史上物理学家首次遇到这样的情况：临界状态似乎完全自我构建，无需任何精细调节。

此外，这样的组织形式具有很强的适应性：用手扑翻一半沙堆，不用担心，随沙粒继续落下，它又将再次进入临界状态。你不可能在旷野中随便找到一块处于临界状态的磁铁。对于磁铁而言，这个状态相当特殊。

但是，如果临界状态可以自发产生，那么我们不难猜测，沙堆很可能并非自然中唯一拥有这种神奇性质的系统。

艾萨克·牛顿在行星运行中发现牛顿定律，而这些定律适用于彗星、雨滴、坠下的苹果、卫星，甚至可以延伸到流体、飞机和地球上的一切……乃至地球之外。马克斯·普朗克在试图解释热辐射波的颜色时，发现了量子理论的根源，而这一发现迅速蔓延至物理学的各个角落。

在每个巨大发现之后，科学家似乎总能突然在任何地方看到自己此前从未发现的现象。

我们已经知道，自组织临界性似乎能够解释处于临界状态的地壳不可控制又难以预测的特性。地球板块缓慢、不可控的漂移正如沙粒的落下，导致地壳进入临界状态，该系统中的雪崩——石头沿着断层的滑动——可以以任何规模发生。

世界上还存在其他类似系统吗？是否有些系统看似复杂，却与沙堆模型拥有同样的内在逻辑？10多年来，这个问题一直备受争议。物理学家未能找出所有答案，但是他们的发现既微妙又有趣。

合理燃烧

要理解1988年黄石国家公园的大火为何如此猛烈，并不是件简单的事。大火产生的原因、方式和地点取决于沿途的树木类型、间距以及森林草地的混合模式。大风助长火势的蔓延，雨水则减缓火情。

森林的细部历史也极其重要；某处树木比另一些地方的树木年代更为久远，这也就决定了燃烧是否容易。类似河流的自然障碍可能阻碍大火前进；而大火也可能将余烬吹过河流，在千米之外引起新的大火。

在这些因素的影响下，难怪科学家们对森林大火的预测与地能预测的成功率相近。或许正因为有太多细节值得考虑，美国林业局才对黄石公园的大火无从准备。同时还有更深层次的原因。

1998年，康奈尔大学地质学家布鲁斯·马拉默德、格莱布·莫瑞恩和唐纳德·特科特收集上世纪美国和澳大利亚森林大火的数据。若将森林大火的规模对应于燃烧树木数量或燃烧面积，那么，典型森林大火的规模应该如何？

人们或许猜测，大火的历史能大致反映出自然破坏力和人类保护力的某种僵持状态。为了证实这一点，马拉默德和合作者画出简单图形，以展示燃烧1平方千米、10平方千米范围的大火发生频率等。

令人惊讶的是，他们并没有发现火灾的典型规模。

同时，他们发现，美国鱼类与野生动物管理局辖区内1986-1995年的4284场火灾数据符合幂定律。

我们再次发现同样的几何规律：火灾燃烧面积增加1倍，发生频率降为1/2.48,该规律对规模相差100万倍的火灾都适用。换句话说，尽管大火的蔓延方式很复杂，但是你仍旧能够从不同规模大火的发生频率中得到一个简单的规律，即生态系统的古登堡－里克特幂定律。

让我们回想，幂定律具有尺度不变性，这表明大事件不过是小事件的放大版，其成因完全相同。的确，大地震并非由特殊事件引发，而是来自地壳临界状态罕见却自然的结果，以及地壳对链条反应的敏感性。

康奈尔大学的研究人员发现，同样的规律也适用于森林大火，不管是美国还是澳大利亚，甚至地球上其他地方，都会发生类似情况。

火灾发生时，“人们不知道它会变为多大”。森林临界状态的组织性质导致大火蔓延，而某一次大火蔓延的范围完全是随机的。

这至少是数据所展示的。当然，幂定律也只是数学规律。幂定律表明，大小地震的成因并无差别，但是怀疑论者似乎仍会质疑。为了深入理解幂定律如何产生，马拉默德和同事们将进一步深化研究。

上一章里，我们引入了普适性的概念，表明如果某系统处于临界状态，那么建立起本质一致的模型应该比较简单。你可以刨去细节，只抓住影响传播过程的内在逻辑核心。那么森林大火的本质是什么呢？

基于此，康奈尔大学的科学家们将大火蔓延过程简化为三条法则：

第一，森林由树木构成，如果没有外在干扰，树木会随着时间增多；第二，每过一段时间，某处的树木便会随机着火；第三，火灾会波及旁边的树木——对于林业工作者而言，这种描述完全是对真实森林荒唐的过度简化。马拉默德和同事们将这三个法则放入数学模型，利用计算机进行模拟。

正如沙堆实验，他们在网格中模拟森林大火。每个时间步内，计算机随机栽下一棵树。随时间流逝，树木在计算区域中随机出现，数量逐渐增多。但是，每过一段时间，计算机在栽下一定数量的树木后，随机选择某个区域扔下一根火柴。

也就是说，模型中的树木随时间均匀生长，而火柴则以更低的频率落下——即大约长出200~400棵树后，落下一根火柴。当火柴落入开阔的空地，什么都不会发生；当它恰好撞上某棵树，便会引燃树木。

模型最后的规则是，树木一旦着火，便会点燃四周的树木。这就是整个模型：树木随机生长，偶尔点燃某棵树，倘若条件合适，火势便会蔓延。

模型中没有添加火灾的自然屏障，比如河流或道路，而真实中的障碍以零散空地的形式自然出现。此模型同时假设树木种类一致，因此它们的燃烧概率和速度相等。模型也忽略了救火员和天气的影响。

尽管如此，该模型由于符合普适性，其模拟结果完全符合真实森林大火的数据。马拉默德和同事们进行了一系列仿真模拟，在每次模拟中统计波及某面积林地的大火数目。

和真实森林一样，他们的结果显示小火灾多于大火灾。但是，除却单纯的定性一致，此模型还给出几乎完美的幂律分布。

网格中的森林网络似乎经过自身的自然调节便能进入临界状态，此时，下一根火柴或许就能引起任何规模的大火，甚至能毁灭整片森林。

根据简单模型和真实数据之间惊人的一致性，马拉默德和同事们得到以下结论：地壳并非唯一能够自然进入临界状态的系统，森林亦如此，至少在没有外在影响的情况下。

这种限制是必要条件。而此模型还能引出另一特殊细节，该细节甚至能帮助美国林业局今后减少大规模灾难火灾的次数。

超临界状态

1988年，黄石公园的大火烧毁了150万英亩土地。当然，临界状态下，我们无须寻找重大事件的特殊成因。临界组织的存在本身就意味着，无论如何，可怕的大火总会偶然爆发，因为森林已经处于灾难的边缘，正如费米临界反应堆。

不过看起来，黄石公园和其他国家公园的森林所处的状况或许更为糟糕。如果费米没有停止抽出控制棒，反应堆便会陷入灾难性的失控反应，每个中子都会引发一场产生更多中子的雪崩。倘若真的如此，那天就无人与维格纳举杯庆祝了。

可惜的是，过去一个世纪里，美国森林的管理政策或许恰恰相当于同时抽出所有“控制棒”，其造成的结果就是，森林不只处于灾难的边缘，而是被紧紧束缚在通向火灾的道路上。上个模型便显示出为何如此。

我们还记得，电脑每隔一段时间就扔下一根火柴。马拉默德和同事们可以改变投掷火柴的频率。某些模拟里，他们每栽下100棵树便扔下一根火柴；在另一些模拟中，他们每栽下2000棵树才扔下一根火柴。

前一种情况里，投掷火柴的频率较高，火灾频率也很高；后一种情况里，火灾频率则大大降低。但发生的情况却引人深思：火灾较少，树木密度就较高，因为没有火灾破坏它们。事实上，如果每2000棵树木才落下一根火柴，那么每次火灾前整个网格便已长满树木。一旦火灾发生，结果便极具灾难性，同时也不可避免——一棵树引起的火灾终将传遍整片森林。

也就是说，当火灾频率很低的时候，模型显示其发生的火灾便更具灾难性，足以毁灭一切。

马拉默德和同事们将此称作“黄石效应”，它或许能够解释美国土地管理局为何承认，近年来尽管竭力压制自然火灾，野火却更加频繁凶猛，也更加难以控制。

自1890年以来，美国林业局对于火灾便采取“零容忍”的态度，甚至对自然原因导致的野火也是如此。林业局设法扑灭所有火灾，这相当于模型中火柴落下的频率更低，产生的结果也因此类似。

该措施导致的另一个意外结果便是森林的老化。老树无法由新树取代，森林树木的自然更迭过程也发生改变。死树、野草、细枝、灌木、树皮和树叶长期积累，导致森林最终远离临界状态。

问题在于，火灾是维持森林健康不可或缺的自然生态因素。一旦压制大火，森林便会进入更不稳定的状态，也就是超临界状态，到处都有大量易燃物。

因此，森林管理者不再尝试控制中小规模的火灾。事实上，他们现在甚至有意制造一些可控燃烧，防止可燃物堆积。利用中小型火灾去除危险的死树——和模型一样，这将有助于降低火灾传播路径上的树木密度，避免小干扰引发大规模火灾。

美国联邦荒地火灾政策在无意中找到了正确答案：野生大火这样重要的自然过程应该被再次引入生态系统。森林或许需要很多年才能恢复平衡，且即便如此，超级大火也会以一定的频率再次发生——这是临界状态下无法避免的情况。不过至少现在，此类大火比超临界状态下大火的发生率更低。

森林大火的数学模型与普适性概念共同表明，大火传播的方式与其涉及的过程细节关系不大。

森林是自组织临界性的完美例证。临界状态中重要的并非复杂的细节，而是简单的内在几何特征，它才是控制影响传播途径的关键因素。

相对临界性

早在20世纪，思想家们就以爱因斯坦的相对论为依据，认为一切事物的本质取决于观察的角度。讽刺的是，对于爱因斯坦而言，这个理论提出的概念恰恰完全相反。相对论基于参考系不变的概念；也就是说，即使观察视角发生变化，事物的本质依旧保持不变。

自组织临界性的概念也符合这种精神，这正是其力量所在：它对很多事物的解释放之四海而皆准，不需要考虑分子、树木或者任何组织内部错综复杂的细节。

北美西部的广袤草原上有300多种蚱蜢，它们消耗的植物量超出任何地上生物。比如，典型年份里，蚱蜢一年吃掉约20%可食用叶片，也通过这种方式，极大地改变草原生态。

通常来说，这是有益的，因为它们的觅食有助于土壤养分循环，保持植物群落的稳定；但有时，它们的数目会完全失控。1983年和1984年，怀俄明州布莱克山（Black Hills)地区，蚱蜢数目的猛增几乎导致整片草原寸草不生。

一个多世纪以来，专家始终尝试预测、控制北美西部的蝗灾突发，因为牧场主还依赖这片草原喂养牲口。

但是，人们始终难以理解蝗灾爆发的原因。生态学家估计，至少有20000多种因素，包括季节温度和降雨的规律、蚱蜢的天敌以及寄生生物的数目等，都决定了蚱蜢数目在不同年份发生怎样变化。

不过，1994年，生态学家戴尔·洛克伍德和杰弗里·洛克伍德兄弟用当时最为详尽的数学手段研究蝗灾，并发现了我们如今已经熟悉的规律。

超过半个世纪以来，美国农业部在爱达荷州、蒙大拿州和怀俄明州的很多地区，记录每年蚱蜢数目超过某阈值（也就是环境承载力）的土地总面积。大致说来，当蚱蜢数目超出这个值时（约8个／平方米），它们仅仅一年的活动便会为当地植物群落结构带来长久的伤害。处于这一标准的土地面积很好地描述了蝗灾爆发的规模。

观察很多地区的爆发记录，他们发现此分布符合幂定律——小型蝗灾的爆发稀松平常，大型爆发则极其罕见。不过，重要的是，二者的成因并不存在实质性的差异。

幂律分布表明，引起小规模蝗灾的原因也能偶尔导致一场破坏性极大的爆发。同时，任何对蝗灾局部情况和初始规模的分析都不足以预言其最终规模。

和森林防护一样，这对害虫防疫组织或许是有益的一课。从一方面来说，它表明生态学家就算能够完美控制这20000个因素，也无法很好地预测蝗灾爆发。

大规模蝗灾爆发不可避免，因为生物和物理因素相互作用的密集网络也处于临界状态，位于巨变的边缘。因此，预言下一次爆发的努力毫无意义。从另一方面来说，过去抑制虫灾的努力似乎是误导性的，因为压抑或许恰恰增加了大爆发的可能性。

类似模式也存在于其他情况中。1996年，牛津大学的罗伊·安德森和克里斯·罗兹研究了法罗群岛于1912-1969年的麻疹传播情况。该群岛位于挪威与冰岛之间的太平洋地区，与外界隔绝。他们发现，麻疹的传染规模，即传染人数，恰好完美地符合地震和森林大火中常见的幂律分布。

若使用森林大火模型进行模拟——用树木代表人群，火灾代表麻疹传染，同样能准确解释这一现象。这也许是说明细节并不重要的有力证据。用来解释森林火灾的模型，也可以描述疾病如何在人群中传播。即使树木换成人，大火换成传染病，扰动传播的规律也完全相同。

20世纪90年代，物理学家在普通纸张的褶皱中发现了自组织临界态，此外还包括超导体的磁场运动、太阳耀斑偶然迸发甚至交通堵塞。这个名单很容易由其他例子进一步扩充。

临界状态似乎存在于任何系统，无论它由什么构成，受什么物理规律支配。从这个角度来说，临界状态的组织方式甚至比物理规律更为基础，它位于物理规律的底层，是世界大部分组织方式的核心。

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